2020-07-31

十、深度優先 && 廣度優先

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一、什麼是“搜索”算法？

  • 算法是作用於具體數據結構之上的，深度優先搜索算法和廣度優先搜索算法都是基於“圖”這種數據結構的。
  • 因為圖這種數據結構的表達能力很強，大部分涉及搜索的場景都可以抽象成“圖”。
  • 圖上的搜索算法，最直接的理解就是，在圖中找出從一個頂點出發，到另一個頂點的路徑。
  • 具體方法有很多，兩種最簡單、最“暴力”的方法為深度優先、廣度優先搜索，還有A、 IDA等啟髮式搜索算法。
  • 圖有兩種主要存儲方法，鄰接表和鄰接矩陣。
  • 以無向圖，採用鄰接表存儲為例：
public class Graph {
    // 頂點的個數
    private int v;
    // 每個頂點後面有個鏈表
    private LinkedList<Integer>[] adj;

    public Graph(int v) {
        this.v = v;
        adj = new LinkedList[v];
        for (int i = 0; i < v; i++) {
            adj[i] = new LinkedList<>();
        }
    }

    /**
     * 添加邊
     * @param s 頂點
     * @param t 頂點
     */
    public void addEdge(int s,int t){
        // 無向圖一條邊存兩次（聯想微信好友）
        adj[s].add(t);
        adj[t].add(s);
    }
}

二、廣度優先搜索（BFS）

  • 廣度優先搜索（Breadth-First-Search），簡稱為 BFS。
  • 它是一種“地毯式”層層推進的搜索策略，即先查找離起始頂點最近的，然後是次近的，依次往外搜索。

2.1、實現過程

/**
 * 圖的廣度優先搜索，搜索一條從 s 到 t 的路徑。
 * 這樣求得的路徑就是從 s 到 t 的最短路徑。
 *
 * @param s 起始頂點
 * @param t 終止頂點
 */
public void bfs(int s, int t) {
    if (s == t) {
        return;
    }
    // visited 記錄已經被訪問的頂點，避免頂點被重複訪問。如果頂點 q 被訪問，那相應的visited[q]會被設置為true。
    boolean[] visited = new boolean[v];
    visited[s] = true;
    // queue 是一個隊列，用來存儲已經被訪問、但相連的頂點還沒有被訪問的頂點。因為廣度優先搜索是逐層訪問的，只有把第k層的頂點都訪問完成之後，才能訪問第k+1層的頂點。
    // 當訪問到第k層的頂點的時候，需要把第k層的頂點記錄下來，稍後才能通過第k層的頂點來找第k+1層的頂點。
    // 所以，用這個隊列來實現記錄的功能。
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(s);
    // prev 用來記錄搜索路徑。當從頂點s開始，廣度優先搜索到頂點t后，prev數組中存儲的就是搜索的路徑。
    // 不過，這個路徑是反向存儲的。prev[w]存儲的是，頂點w是從哪個前驅頂點遍歷過來的。
    // 比如，通過頂點2的鄰接表訪問到頂點3，那prev[3]就等於2。為了正向打印出路徑，需要遞歸地來打印，就是print()函數的實現方式。
    int[] prev = Arrays.stream(new int[v]).map(f -> -1).toArray();

    while (queue.size() != 0) {
        int w = queue.poll();
        LinkedList<Integer> wLinked = adj[w]; // 表示：鄰接表存儲時頂點為w，所對應的鏈表
        for (int i = 0; i < wLinked.size(); ++i) {
            int q = wLinked.get(i);
            // 判斷頂點 q 是否被訪問
            if (!visited[q]) {
                // 未被訪問
                prev[q] = w;
                if (q == t) {
                    print(prev, s, t);
                    return;
                }
                visited[q] = true;
                queue.add(q);
            }
        }
    }
}

// 遞歸打印s->t的路徑
private void print(int[] prev, int s, int t) {
    if (prev[t] != -1 && t != s) {
        print(prev, s, prev[t]);
    }
    System.out.print(t + " ");
}

原理如下：

2.2、複雜度分析

  • 最壞情況下，終止頂點 t 離起始頂點 s 很遠，需要遍歷完整個圖才能找到。
  • 這個時候，每個頂點都要進出一遍隊列，每個邊也都會被訪問一次，所以，廣度優先搜索的時間複雜度是 O(V+E)。
  • 其中，V 表示頂點的個數，E 表示邊的個數。
  • 對於一個連通圖來說，也就是說一個圖中的所有頂點都是連通的，E肯定要大於等於 V-1，所以，廣度優先搜索的時間複雜度也可以簡寫為 O(E)。
  • 廣度優先搜索的空間消耗主要在幾個輔助變量 visited 數組、queue 隊列、prev 數組上。
  • 這三個存儲空間的大小都不會超過頂點的個數，所以空間複雜度是 O(V)。

三、深度優先搜索（DFS）

  • 深度優先搜索（Depth-First-Search），簡稱DFS。
  • 最直觀的例子就是“走迷宮，假設站在迷宮的某個岔路口，然後想找到出口。
  • 隨意選擇一個岔路口來走，走着走着發現走不通的時候，就回退到上一個岔路口，重新選擇一條路繼續走，直到最終找到出口。這種走法就是一種深度優先搜索策略。
  • 如下圖所示，在圖中應用深度優先搜索，來找某個頂點到另一個頂點的路徑。
  • 搜索的起始頂點是 s，終止頂點是 t，在圖中尋找一條從頂點 s 到頂點 t 的路徑。
  • 用深度遞歸算法，把整個搜索的路徑標記出來了。實線箭頭表示遍歷，虛線箭頭表示回退。
  • 從圖中可以看出，深度優先搜索找出來的路徑，並不是頂點 s 到頂點 t 的最短路徑。

3.1、實現過程

// 全局變量或者類成員變量，標記是否找到終點 t
boolean found = false;

/**
 * 深度優先搜索
 *
 * @param s 起始頂點
 * @param t 終止頂點
 */
public void dfs(int s, int t) {
    found = false;
    // 標記頂點是否被訪問
    boolean[] visited = new boolean[v];
    // prev 用來記錄搜索路徑，prev[w] = a 表示 w 頂點的上一級節點為 a
    int[] prev = Arrays.stream(new int[v])
            .map(f -> -1).toArray();

    recurDfs(s, t, visited, prev);
    print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
    if (found == true) {
        return;
    }
    visited[w] = true;
    if (w == t) {
        found = true;
        return;
    }
    LinkedList<Integer> wLinked = adj[w];
    for (int i = 0; i < wLinked.size(); ++i) {
        int q = wLinked.get(i);
        if (!visited[q]) {
            prev[q] = w;
            recurDfs(q, t, visited, prev);
        }
    }
}

3.2、複雜度分析

  • 深度搜索中每條邊最多會被訪問兩次，一次是遍歷，一次是回退。
  • 所以，深度優先搜索算法的時間複雜度是 O(E)， E 表示邊的個數。
  • 深度優先搜索算法的消耗內存主要是 visited、 prev 數組和遞歸調用棧。
  • visited、 prev 數組的大小跟頂點的個數V成正比，遞歸調用棧的最大深度不會超過頂點的個數，所以總的空間複雜度就是 O(V)。

四，兩者對比

  • 廣度優先搜索和深度優先搜索是圖上的兩種最常用、最基本的搜索算法，比起其他高級的搜索算法，比如A、 IDA等，要簡單粗暴，沒有什麼優化，所以，也被
    叫作暴力搜索算法。
  • 所以，這兩種搜索算法僅適用於狀態空間不大，也就是說圖不大的搜索。
  • 廣度優先搜索，通俗的理解就是，地毯式層層推進，從起始頂點開始，依次往外遍歷。
  • 廣度優先搜索需要藉助隊列來實現，遍歷得到的路徑就是，起始頂點到終止頂點的最短路徑。
  • 深度優先搜索用的是回溯思想，非常適合用遞歸實現。換種說法，深度優先搜索是藉助棧來實現的。
  • 在執行效率方面，深度優先和廣度優先搜索的時間複雜度都是 O(E)，空間複雜度是 O(V)。

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